O que são quadrados mágicos?

Um quadrado mágico é uma matriz 3 x 3 ou 4 x 4 (3 linhas e 3 colunas, no caso da matriz 3 x 3):
<=> Esta matriz contém, então, 9 números, não repetidos que vão de 1 a 9.
<=> Que características possui a matriz que é um quadrado mágico?
<=> A soma dos números de todas as linhas e de todas as colunas é constante;
<=> Também a soma dos números das 2 diagonais é constante e igual à soma dos números das linhas e das colunas.

O PULO DO GATO!!!
<=> Ora, a soma dos números inteiros de 1 a 9 é igual a 45.
<=> ENTÃO, se adicionarmos os valores contidos na linha 1, com aqueles da linha 2 e com aqueles da linha 3,
<=> teremos o somatório de todos os valores dos números de 1 a 9 => igual a 45,
<=> como o somatório de cada linha é constante, dividindo-se 45 por 3, encontraremos o valor do somatório, para cada linha
<=> OU SEJA => 15.
Então, para formamos um quadrado mágico, devemos descobrir 3 linhas, 3 colunas e 2 diagonais, contendo 3 números diferentes cada 1 delas, sendo que a soma de tais 3 números seja 15.
Determinemos, então, quais são os grupos de 3 números inteiros diferentes, variando de 1 a 9 e cuja soma seja 15:
Grupos possíveis: (1, 5 e 9), (1, 6 e 8), (2, 4 e 9), (2, 5 e 8), (2, 6 e 7), (3, 4 e 8), (3, 5 e 7), (4, 5 e 6).

NOVO PULO DO GATO!!!

Vamos marcar as posições dos números em uma matriz usando-se a letra "a", seguida do número da linha e da coluna, partindo-se de 0:
a00 a01 a02
a10 a11 a12
a20 a21 a22
Logo a linha 0 terá a soma: a00 + a01 + a02 = 15;
a linha 1: a10 + a11 + a12 = 15;
a linha 3: a20 + a21 + a22 = 15.
Logo, a coluna 0 terá a soma: a00 + a10 + a20 = 15;
a coluna 1: a01 + a11 + a21 = 15;
a coluna 3: a02 + a12 + a22 = 15.
A diagonal à esquerda terá a soma: a00 + a11 + a22 = 15.
A diagonal à direita: a02 + a11 + a20 = 15.
Observe agora, nas "trincas" de números entre parêntesis acima. Você vai notar que o número 5 é o único que aparece em 4 combinações diferentes: (1, 5 e 9), (2, 5 e 8), (3, 5 e 7) e (4, 5 e 6). Nas combinações de linhas e colunas, a00, etc. apenas a posição a11 aparece 4 vezes, incluindo linhas, colunas e diagonais. Logo o 5 deverá ser colocado, obrigatoriamente,>> na posição a11.
Agora, note que os números 2, 4, 6 e 8 aparecem 3 vezes, cada 1, nas combinações entre parêntesis. Observe também que, as posições a00, a02, a20 e a22 aparecem 3 vezes cada 1 no arranjo que fizemos para a matriz 3x3, a00, etc. Ora, então, estas posições que são os vértices do quadrado serão ocupadas pelos números 2, 4, 6 e 8. Vamos colocados na ordem crescente (sentido horário): a00 = 2, a02 = 4, a22 = 6, a20 = 8.
A nossa matriz 3x3 até aqui:
2 a01 4
a10 5 a12
8 a21 6
Os números 1, 3, 7 e 9 aparecem apenas 2 vezes nas combinações entre parêntesis. Logo irão ocupar as posições: a01, a10, a12 e a21. Então na diagonal à esquerda temos: 2 + 5 = 7, para 15 => 8 => o 8 deve ir para a22.
Na diagonal à direita: 4 + 5 = 9, para 15 => 6 => o 6 deve ir para a20.
A nova matriz 3x3:
2 a01 4
a10 5 a12
6 a21 8
Agora, na 1ª coluna: 2 + 6 = 8, para 15 => 7.
Na 3ª coluna: 4 + 8 = 12, para 15 => 3.
A nova matriz 3x3:
2 a01 4
7 5 3
6 a21 8
Agora, na linha 1: 2 + 4 = 6, para 15 => 9.
> Na 3ª linha: 6 + 8 = 14, para 15 => 1.
Na diagona á direita: 7 + 5 + 3 = 15.
A matriz 3x3 final:
2    9    4
7    5    3
6    1    8
O próximo passo será a busca pelo número total de matrizes 3x3 diferentes que constituem quadrados mágicos. Veja estudos, através do link abaixo:

ESTUDO SOBRE QUADRADOS MÁGICOS 3X3