Observe a expressão matemática: 3/4. Esta expressão pode ser entendida de diversas maneiras:
1- é uma fração denominada três quartos,
2- representa uma divisão de 3 por 4 = 0,75,
3- é uma razão que será lida: 3 está para 4. Este é o ponto de partida para os conhecimentos que passarei hoje. A razão 3 está para 4 significa, de maneira bem objetiva que, a cada 3 unidades de uma grandeza qualquer, existirão 4 unidades de uma outra grandeza, ambas associadas entre si. Pode até parecer um pouco confuso. Será necessário acompanharem-se os outros tópicos, para se entenderem, perfeitamente, as afirmações apresentadas.
Agora, apresento a seguinte expressão matemática: 3/4 = 15/20. Ainda uma vez, existem diferentes interpretações para a sentença:
1- podemos entendê-la como uma equivalência entre as frações 3 quartos e 15, vinte avos,
2- ou como uma proporção que se lê: 3 está para 4, assim como 15 está para 20.
As razões têm alguma importância para nossos estudos. Entretanto, o que nos interessa de maneira especial são as proporções. O significado de uma proporção é bastante claro e objetivo. Ora, se a grandeza reprentada pelo 3 tem seu valor elevado para 15 - 5 vezes mais. Aquela representada pelo 4 também se eleva 5 vezes, atingindo o valor 20. Portanto, poderíamos escrever uma série infinita de razões equivalentes, formando-se uma proporção também infinita: 3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/15*...
* Muita atenção: estes conceitos são válidos, apenas, para grandezas que são diretamente proporcionais. Ou seja, o crescimento de uma, implica no crescimento da outra, na mesma proporção. E, logicamente, o decréscimo de uma das grandezas, implicando no decréscimo da outra, também na mesma proporção.
| 2.1- ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO |
Em uma proporção o valor localizado na parte superior da 1ª. razão, e o valor localizado na parte inferior da 2ª. razão são denominados EXTREMOS.
O valor localizado na parte inferior da 1ª. razão, e superior da 2ª. são denominados MEIOS.
Portanto, em nosso exemplo: 3/4 = 15/20 os extremos são: 3 e 20 e os meios são: 4 e 15.
| 2.1.1- 1ª. PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES |
O produto dos EXTREMOS é igual ao produto dos MEIOS. Logo, em nosso exemplo 3 x 20 = 4 x 15 = 60. Ou, 6 x 12 = 8 x 9 = 72, e assim sucessivamente. Memorize esta propriedade, e estará apto(a) a entender perfeitamente como funciona uma REGRA DE TRÊS.
| 2.1.2- 2ª. PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES |
A proporção se mantém quando adicionamos os numeradores e os denominadores das 2 razões, as quais compoem a proporção. Logo, em 3/4 = 15/20, podemos adicionar 3 + 15, e 4 + 20, obtendo-se 18/24. Ora, teremos então 3/4 = 18/24, ou 15/20 = 18/24. Testando-se a última proporção mostrada, utilizando-se a 1ª. propriedade das proporções. Produto dos extremos: 15 x 24 = 360. Produto dos meios: 20 x 18 = 360. Comprovada a igualdade.
Regra de 3 é um método utilizado para, conhecendo-se 3 dos 4 valores envolvidos em uma proporção, determinar-se o 4º valor - desconhecido. Tomemos um exemplo: A cotação atual do Dólar, moeda dos EUA, é 1 dólar equivale a 5 reais. A quantos reais equivalem 6,25 dólares?
Solução: para iniciarmos, devemos montar as 2 razões. A primeira delas é 1/5. Isto equivale a dizer-se: cada - 1 - dólar equivale a 5 reais. A segunda razão da proporção será 6,25/X - a proporção será 1/5 = 6,25/X. O que significa este X aí? Ora, sabemos que 1 dólar equivale a 5 reais. Então 6,25 dólares equivalerá a uma quantidade de reais que, não conhecendo ainda, desejamos descobrir. Aplicando-se a 1ª. propriedade das proporções - o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Os extremos são 1 - numerador da 1ª. razão -, e X - denominador da 2ª. razão. Os meios serão 5 - denominador da 1ª. razão -, e 6,25 - numerador da 2ª. razão. Logo: 1 . X = 5 . 6,25 => X = 31,25. Ou seja, 6,25 dólares equivalem a 31,25 reais.
O assunto Regra de 3, tratado aqui de maneira rápida, será importante para a boa compreensão das aulas de no Curso de Matemática Financeira.
| 4- PORCENTAGENS OU PERCENTAGENS |
Porcentagens são casos especiais de proporções em que, uma das razões possui o denominador 100. Na prática, isso equivale a dizer-se que: utiliza-se o 100 como padrão para comparar valores de quaisquer grandezas. Ora, se não se utilizasse um padrão para comparação de valores, não haveria uma ideia exata sobre o que representa um valor, em relação a outro. Vamos exemplificar para facilitar o entendimento: uma TV que custava R$ 1720,00 teve o preço alterado para R$ 1806,00.
Enquanto isso, na mesma data, um refrigerador que custava R$ 3240,00 passou a custar R$ 3353,40. Qual dos dois produtos teve o maior reajuste absoluto? Qual deles teve o maior reajuste relativo?
Inicialmente, devo definir o que significa reajuste absoluto e reajuste relativo. O absoluto é a diferença entre o valor final e o inicial. Já o relativo se refere à relação entre o reajuste e o preço inicial.
Para o reajuste absoluto, o segundo foi maior que o primeiro. 3353,40 - 3240,00 = R$ 113,40. Enquanto 1806,00 - 1720 = R$ 86,00.
Porém, em qualquer discussão relativa à Economia, o que deve ser considerado é o reajuste relativo. E, para que se tenha uma visão correta, para a comparação deve-se utilizar a variação porcentual - ou seja, qual a variação do preço, em cada caso, medida em relação ao valor 100 <=> 100%.
No primeiro caso: 86/X = 1720/100. A explicação disso aí é fundamental para o entendimento do assunto.
O 86 é o valor da diferença entre o preço final e o inicial. Este valor corresponderá a um percentual do valor total. Ora, o valor 1720 é o total do preço inicial. O total sempre corresponderá a 100%.
Pela 1ª. propriedade das proporções - produto dos meios = produto dos extremos - teremos: 86 . 100 = 1720 . X.
=> 8600 = 1720X => X = 8600 / 1720 => X = 5%.
* Logo abaixo, mostro a nossa Calculadora Financeira, e a forma de se realizarem os cálculos.
Devem-se realizar cálculos semelhantes para o caso do refrigerador:
113,40/X = 3240/100 => X = 11340 / 3240 => X = 3,5%.
Conclusão: o reajuste relativo sofrido pelo aparelho de TV - 5% - foi superior ao sofrido pelo refrigerador - 3,5%.
Sequência de cálculos:
1º. Caso:
Passo 0: clique LV, limpando o conteúdo das variáveis.
Passo 1: 86 no box da calculadora.
Passo 2: clique ENTRA.
Passo 3: 100 no box.
Passo 4: clique x.
Passo 5: 1720 no box.
Passo 6: clique ÷, obtendo-se 5%, valor do acréscimo sofrido pelo valor da TV.
2º. Caso:
Passo 0: clique LV, limpando o conteúdo das variáveis.
Passo 1: 113,40 no box da calculadora.
Passo 2: clique ENTRA.
Passo 3: 100 no box.
Passo 4: clique x.
Passo 5: 3240 no box.
Passo 6: clique ÷, obtendo-se 3,5%, valor do acréscimo sofrido pelo valor do refrigerador.
