Existem algumas igualdades, dentro da Matemática, que apresentam características muitos especiais. Por este motivo, tais igualdades receberam o nome de PRODUTOS NOTÁVEIS. São 3 os casos de Produtos Notáveis, veja a demonstração abaixo:

O PRODUTO	APRESENTAÇÃO	RESULTADO	O ENUNCIADO
QUADRADO DA SOMA	(X + a)²	X² + 2aX + a²	O quadrado da soma de 2 números é ígual: ao quadrado do 1º, mais 2 vezes o 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º
QUADRADO DA DIFERENÇA	(X - a)²	X² - 2aX + a²	O quadrado da diferença de 2 números é ígual: ao quadrado do 1º, menos 2 vezes o 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA	(X + a).(X - a)	X² - a²	O produto da soma pela diferença de 2 números é igual ao quadrado do 1º, menos o quadrado do 2º

Pois bem, qual a importância dos Produtos Notáveis? Ora, em diversas questões da Matemática, poderemos utilizar os produtos notáveis para encontrar uma solução mais rápida. Por exemplo: determine as raízes da equação do 2º grau: X² - 6X + 9 = 0. Ora, observe que: 3 + 3 = 6, ou seja: 3 + 3 = 2 . 3 = 6 e 3² = 9. Logo, X² - 6X + 9 pode ser reescrito como: (X + 3)² = X² + 2.X.3 + 3². Ou seja, de acordo com a definição do quadrado da soma: o quadrado do 1º, mais 2 vezes o 1º pelo segundo, mais o quadrado 2º.
Ora, se fizermos: (X + 3)² = 0 => X + 3 = 0 => X = 0 - 3 => X = -3. Conforme veremos em um estudo das equações do 2º grau, que iremos publicar em breve, este o caso em que existem 2 raízes reais e iguais (-3). Utilizando-se raciocínio semelhantes, poderemos resolver: X² - 6X + 9 = 0 e X² - 9 = 0. Veja a solução desta última: X² - 9 = (X + 3).(X - 3)=0. Logo X + 3 = 0 OU X = 3 = 0 => X = -3 OU X = 3 que são as 2 raízes da equação.

PRODUTOS NOTÁVEIS APLICADOS A LIMITES

Sabe-se que, quando se aplica o valor para o qual tende a variável, em uma função, buscando-se pelo seu limite, pode ocorrer de se encontrar a divisão: 0 / 0. Este, é um dos casos de indeterminação. Entretanto, em alguns casos é possível, utilizando-se os produtos notáveis, levantar-se a indeterminação. Por exemplo: determinar o limite, quando x -> 5 de [(x² - 25) / (x² -10x + 25)]. Para o denominador teremos: (5)² - 10.(5) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0. Para o numerador: (5)² - 25 = 0. Logo, em princípio, lim[(x² - 25) / (x² -10x + 25)] = 0 / 0 => indeterminação. Contudo, x² - 10x + 25 pode ser reescrito como: (x - 5)² (1º caso de produtos notáveis, veja acima). Já (x² - 25) = (x + 5).(x - 5) (3º caso de produtos notáveis). Então podemos reescrever o limite, quando x tende a 5: [(x + 5).(x - 5) / (x - 5)²] Simplificando-se a expressão obtemos: [(x + 5) / (x - 5)] = 10 / 0 = infinito.